2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4

发布时间:2021-12-04 09:12:05

5.2 学*目标 正弦函数的性质 1.理解、 掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的定义域、 值域.3.能利用单调性 比较三角函数值的大小. 知识点 正弦函数的性质 思考 1 对于 x∈R,sin(-x)=-sin x,这说明正弦函数具有怎样的性质? 答案 奇偶性. 思考 2 正弦函数取得最大值、最小值时 x 的值是什么? 答案 对于正弦函数 y=sin x,x∈R 有: π 当且仅当 x= +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1; 2 π 当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1. 2 思考 3 正弦函数的单调区间是什么? 答案 ? ? y = sin x 的 递 增 区 间 为 ?- +2kπ , +2kπ ? , k∈Z , 递 减 区 间 为 π ? 2 π 2 ? ?π +2kπ ,3π +2kπ ?,k∈Z. ?2 ? 2 ? ? 梳理 函数 正弦函数 y=sin x,x∈R 图像 定义域 值域 R [-1,1] π 当 x= +2kπ (k∈Z)时,ymax=1; 2 最值 π 当 x=- +2kπ (k∈Z)时,ymin=-1 2 是周期函数,周期为 2kπ (k∈Z,k≠0),2π 是它的最小正周期 奇函数,图像关于原点对称 周期性 奇偶性 1 单调性 π ? π ? 在区间?- +2kπ , +2kπ ?(k∈Z)上是增加的; 2 ? 2 ? 在区间? ?π +2kπ ,3π +2kπ ?(k∈Z)上是减少的 ? 2 ?2 ? x= +kπ ,k∈Z (kπ ,0),k∈Z π 2 对称轴 对称中心 1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( × 3.y=sin |x|是偶函数.( √ ) ) 类型一 求正弦函数的单调区间 ?π ? 例 1 求函数 y=2sin? -x?的递增区间. 4 ? ? 考点 求正弦函数的单调区间 题点 求正弦函数的单调区间 ?π ? ? π? 解 y=2sin? -x?=-2sin?x- ?, 4 4? ? ? ? π 令 z=x- , 4 则 y=-2sin z. 因为 z 是 x 的一次函数, 所以要求 y=-2sin z 的递增区间,即求 sin z 的递减区间, π 3π 即 2kπ + ≤z≤2kπ + (k∈Z). 2 2 π π 3π 所以 2kπ + ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 即 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 3π 7π ? ?π ? ? 所以函数 y=2sin? -x?的递增区间为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4 4 ? ? ? ? 2 反思与感悟 用整体替换法求函数 y=Asin(ω x+φ )的单调区间时, 如果式子中 x 的系数为 负数, 先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时, 需将最终结果写 成区间形式. π? ? ? π π? 跟踪训练 1 函数 y=sin?3x+ ?,x∈?- , ?的递减区间为 6? ? ? 3 3? 考点 求正弦函数的单调区间 题点 求正弦函数的单调区间 2π ? ?π π ? ? π 答案 ?- ,- ?,? , ? 3 9 9 3 . ? ? ? ? π π 3π 解析 由 +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π 2kπ 4π 2kπ 得 + ≤x≤ + (k∈Z). 9 3 9 3 ? π π? 又 x∈?- , ?, ? 3 3? π? 2π ? ? π π ? ? ? π π? ? π 所以函数 y=sin?3x+ ?,x∈?- , ?的递减区间为?- ,- ?,? , ?. 6? 9 ? ?9 3? ? ? 3 3? ? 3 类型二 正弦函数单调性的应用 命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小 例 2 比较下列三角函数值的大小. ? 3π ? ? 13π ?; (1)sin?- ?与 sin?- ? 4 ? ? 5 ? ? (2)sin 196°与 cos 156°; 考点 正弦函数单调性的应用 题点 利用正弦函数单调性比较大小 3π ? 3π ? 解 (1)∵sin?- ?=-sin , 5 ? 5 ? ? 13π ?=-sin?2π +5π ?=-sin 5π , sin?- ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? ? π 3π 5π 3π 由于 < < < , 2 5 4 2 ?π 3π ? 且 y=sin x 在? , ?上是减少的, 2 ? ?2 ∴sin 3π 5π >sin , 5 4 3π 5π <-sin , 5 4 ∴-sin 3 ? 3π ? ? 13π ?. 即 sin?- ?<sin?- 4 ? ? 5 ? ? ? (2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24° =-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,且 y=sin x 在[0°,90°]上是增加的, ∴sin 16°<sin 66°, 从而-sin 16°>-sin 66°,即 sin 196°>cos 156°. 反思与感悟 (1)比较 sin α 与 sin β 的大小时,可利用诱导公式把 sin α 与 sin β 转化 为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较. ?π ? (2)比较 sin α 与 cos β 的大小,常把 cos β 转化为 sin? ±β ?后,再依据单调性来进 ?2 ? 行比较. (3)当不能将两角转到同一单调区间上时,还可以借助于图像或值的符号比较. 跟踪训练 2 比较 sin 194°与 cos 110°的大小. 考点 正弦函数单调性的应用

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