2018_2019学年高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像

发布时间:2021-09-20 16:25:17

§6 余弦函数的图像与性质 内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点 法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其 运用(难点). 知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数 y=cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线. 根据诱导公式 ? π? sin?x+2?=cos ? ? x, x∈R.只需把正弦函数 y=sin x, π x∈R 的图像向左*移2个单位长度即可得到余弦函数图像(如 图). 要画出y=cos x,x∈[0,2π]的图像,可以通过描出 ?π ? ?3 ? (0,1),?2,0?,(π,-1),?2π,0?,(2π,1) ? ? ? ? 五个关键点,再用 光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数 y = cos x , x∈[0,2π]的图像. 【预*评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦函数y=cos x的图像可以向左、向右无限伸展.( √ ) (2)y=cos x 的图像与y=sin x的形状完全一样,只是位置不同 (√ ) (3)y=cos x的图像与x轴有无数个交点( √ ) (4)y=cos x的图像关于y轴对称( √ ) 知识点2 余弦函数的性质 函数 定义域 y=cos x R _____ [-1,1] ________ 偶函数 _________ 2π 为最小正周期 当 x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z) 时,递增; 当 x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 时,递减 当 x=2kπ(k∈Z) 时,最大值为 1 ; -1 当 x=2kπ+π(k∈Z) 时,最小值为____ 值域 奇偶性 周期性 单调性 最大值与 最小值 【预*评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y=-cos x的最小正周期为2π.( √ ) π (2)函数y=-cos x在区间[0,2]上是增函数.( √ π (3)函数y=sin(x-2)的图像关于x=0对称.( √ π (4)函数y=sin(2-x)是奇函数.( × ) ) ) 题型一 【例1】 余弦函数的图像及应用 画出y=cos x(x∈R)的简图,并根据图像写出: 1 (1)y≥2时x的集合; 1 3 (2)-2≤y≤ 2 时x的集合. 解 用“五点法”作出y=cos x的简图. (1)过 ? 1? ?0, ? 2? ? 点作x轴的*行线,从图像中看出:在[-π,π]区间与 ? π 1? ?π 1? 1 ? ? ? ? 余弦曲线交于 -3,2 , 3,2 点,在[-π,π]区间内,y≥2时,x ? ? ? ? ? π π? 的集合为?x|-3≤x≤3?. ? ? 1 当x∈R时,若y≥2, ? ? ? π π ? ? 则x的集合为 x -3+2kπ≤x≤3+2kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ? ? 1? ? (2)过?0,-2?,? 0, ? ? ? ? 3? ? 点分别作 x 轴的*行线,从图像中看出它 ? 2? ? 2π ?2π 1? 1? 们分别与余弦曲线交于?- 3 +2kπ,-2?,k∈Z,? 3 +2kπ,-2?, ? ? ? ? k∈ Z ? π 点和? ?-6+2kπ, ? ?π 3? 3? ? ? ? , k ∈ Z , + 2 k π , ?6 ?,k∈Z 点,那么 2? 2 ? ? ? 曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求, 1 3 即当-2≤y≤ 2 时 x 的集合为: ? ? ? 2π π ?x?- +2kπ≤x≤- +2kπ 3 6 ? ? ? 或 ? π 2π ? . + 2 k π ≤ x ≤ + 2 k π , k ∈ Z 6 3 ? 规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤 【训练1】 (1)函数y=cos 2x,x∈[0,2π]的简图是( ) 解析 π 3π 由 2x=0,2,π, 2 ,2π 可得五点,描图知,A 为 x∈[0, π]上的简图;D 为 x∈[0,2π]上的简图. 答案 D 1 (2)作出函数 y=1-3cos x 在[-2π,2π]上的图像. 解 ①列表: x y=cos x 0 π 2 π 3π 2π 2 0 1 1 2 3 1 0 -1 4 3 1 2 1 y=1-3cos x 3 1 ②作出 y=1-3cos x 在 x∈[0,2π]上的图像. 由于该函数为偶函数, 1 作关于 y 轴对称的图像.从而得出 y=1-3cos x 在 x∈[-2π,2π] 上的图像. 题型二 余弦函数的性质 【例2】 已知f(x)=2+cos x. (1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的单调区间; (3)求函数的最小正周期. 解 (1)∵f(x)=2+cos x的定义域为R且f(-x)=f(x), ∴函数f(x)=2+cos x为偶函数. (2)∵y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在[2kπ,2kπ+ π](k∈Z)上是减少的, ∴ y =2+ cos x 的单调递增区间为 [2kπ - π ,2kπ](k∈Z) ,单调递 减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z). (3)由cos x的周期性知y=2+cos x的最小正周期为2π. 规律方法 对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数图像并 类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题规律方法与正弦函 数的对应性质解题方法一致. 1 【训练 2】 (1)求函数 y=1-2cos x 的单调区间; (2)比较 解 ? π? cos?-7?与 ? ? 18π cos 7 的大小. 1 (1)∵-2<0, 1 ∴y=1-2cos x 的单调性与 y=cos x 的单调性相反. ∵y=cos x 的单调增区间是[2kπ-π, 2kπ](k∈Z), 减区间是[2kπ, 2kπ+π](k∈Z). 1 ∴y=1-2cos x

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