【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 5.2 正弦函数的性质学案 北师大版必修4

发布时间:2021-12-04 07:56:42

推荐精选 K12 资料

函数的性质

5.2 正弦

学*目标 1.理解、掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性 比较三角函数值的大小.

知识点 正弦函数的性质 思考 1 对于 x∈R,sin(-x)=-sin x,这说明正弦函数具有怎样的性质?

答案 奇偶性. 思考 2 正弦函数取得最大值、最小值时 x 的值是什么? 答案 对于正弦函数 y=sin x,x∈R 有:

当且仅当 x=π2 +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1;

当且仅当 x=-π2 +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1.

思考 3 正弦函数的单调区间是什么?

答 案 y = sin x 的 递 增 区 间 为 ???-π2 +2kπ ,π2 +2kπ ??? , k∈Z , 递 减 区 间 为 ???π2 +2kπ ,3π2 +2kπ ???,k∈Z.
梳理

函数

正弦函数 y=sin x,x∈R

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

图像
定义域 值域
最值
周期性 奇偶性
单调性
对称轴 对称中心

R [-1,1] 当 x=π2 +2kπ (k∈Z)时,ymax=1; 当 x=-π2 +2kπ (k∈Z)时,ymin=-1 是周期函数,周期为 2kπ (k∈Z,k≠0),2π 是它的最小正周期 奇函数,图像关于原点对称
在区间???-π2 +2kπ ,π2 +2kπ ???(k∈Z)上是增加的; 在区间???π2 +2kπ ,32π +2kπ ???(k∈Z)上是减少的 x=π2 +kπ ,k∈Z (kπ ,0),k∈Z

1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( × ) 3.y=sin |x|是偶函数.( √ )

类型一 求正弦函数的单调区间
例 1 求函数 y=2sin???π4 -x???的递增区间.
考点 求正弦函数的单调区间 题点 求正弦函数的单调区间
解 y=2sin???π4 -x???=-2sin???x-π4 ???,
推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

令 z=x-π4 ,

则 y=-2sin z.

因为 z 是 x 的一次函数,

所以要求 y=-2sin z 的递增区间,即求 sin z 的递减区间,

即 2kπ +π2 ≤z≤2kπ +3π2 (k∈Z).

所以 2kπ +π2 ≤x-π4 ≤2kπ +32π (k∈Z),

即 2kπ +34π ≤x≤2kπ +74π (k∈Z),

所以函数 y=2sin???π4 -x???的递增区间为???2kπ +3π4 ,2kπ +7π4 ???(k∈Z). 反思与感悟 用整体替换法求函数 y=Asin(ω x+φ )的单调区间时,如果式子中 x 的系数为 负数,先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写

成区间形式.

跟踪训练 1 函数 y=sin???3x+π6 ???,x∈???-π3 ,π3 ???的递减区间为

.

考点 求正弦函数的单调区间

题点 求正弦函数的单调区间

答案 ???-π3 ,-2π9 ???,???π9 ,π3 ???

解析 由π2 +2kπ ≤3x+π6 ≤3π2 +2kπ (k∈Z),

得π9 +2k3π ≤x≤49π +2k3π (k∈Z).

又 x∈???-π3 ,π3 ???, 所以函数 y=sin???3x+π6 ???,x∈???-π3 ,π3 ???的递减区间为???-π3 ,-29π ???,???π9 ,π3 ???.
类型二 正弦函数单调性的应用

命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小

例 2 比较下列三角函数值的大小.
(1)sin???-3π5 ???与 sin???-134π ???;
(2)sin 196°与 cos 156°; 考点 正弦函数单调性的应用

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

题点 利用正弦函数单调性比较大小



(1)∵sin???-3π5

???=-sin

3π 5



sin???-134π

???=-sin???2π

+5π4 ???=-sin

5π 4



由于π2 <35π <54π <32π ,

且 y=sin x 在???π2 ,32π ???上是减少的,

∴sin

3π 5

>sin

5π 4



∴-sin

3π 5

<-sin

5π 4



即 sin???-3π5 ???<sin???-134π ???.

(2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°

=-sin 66°,

∵0°<16°<66°<90°,且 y=sin x 在[0°,90°]上是增加的,

∴sin 16°<sin 66°,

从而-sin 16°>-sin 66°,即 sin 196°>cos 156°.

反思与感悟 (1)比较 sin α 与 sin β 的大小时,可利用诱导公式把 sin α 与 sin β 转化

为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较.

(2)比较 sin α 与 cos β 的大小,常把 cos β 转化为 sin???π2 ±β ???后,再依据单调性来进
行比较.

(3)当不能将两角转到同一单调区间上时,还可以借助于图像或值的符号比较.

跟踪训练 2 比较 sin 194°与 cos 110°的大小.

考点 正弦函数单调性的应用

题点 利用正弦函数单调性比较大小

解 ∵sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,

cos 110°=cos(180°-70°)=-cos 70°=-sin(90°-70°)=-sin 20°,

由于 0°<14°<20°<90°,

而 y=sin x 在[0°,90°]上是增加的,

∴sin 14°<sin 20°,∴-sin 14°>-sin 20°,

即 sin 194°>cos 110°.

命题角度2 已知三角函数单调性求参数范围

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

例 3 已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sin ω x 在区间???-π3 ,π4 ???上是增加的,求 ω 的取值范

围.

考点 正弦函数单调性的应用

题点 已知三角函数的单调性求参数范围

解 由-π2 +2kπ ≤ω x≤π2 +2kπ (k∈Z),得-2πω +2ωkπ ≤x≤2πω +2kωπ (k∈Z),

∴f(x)的递增区间是???-2πω +2kωπ ,2πω +2ωkπ ???,k∈Z.

根据题意,得???-π3

,π4

????

???-2πω

+2kπ ω

,2πω

+2kπ ω

???(k∈Z),

??-2πω ≤-π3 ,

??? 从而有

π 2ω

≥π4



ω >0,

3 解得 0<ω ≤2.

故 ω 的取值范围是???0,32???. 反思与感悟 已知三角函数单调性求参数范围问题可先解出 f(x)的单调区间,将问题转化为
集合间的包含关系,然后列不等式组求出参数范围.
跟踪训练 3 已知 ω >0,函数 f(x)=sin???ω x+π4 ???在???π2 ,π ???上是减少的,则 ω 的取值范
围是( )
A.???12,54??? B.???12,34??? C.???0,12??? D.(0,2]
考点 正弦函数单调性的应用 题点 已知三角函数的单调性求参数范围 答案 A
解析 取 ω =54,f(x)=sin???54x+π4 ???, 其递减区间为???85kπ +π5 ,85kπ +π ???,k∈Z, 显然???π2 ,π ???? ???85kπ +π5 ,85kπ +π ???,k∈Z,排除 B,C. 取 ω =2,f(x)=sin???2x+π4 ???, 其递减区间为???kπ +π8 ,kπ +58π ???,k∈Z,

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料
显然???π2 ,π ???????kπ +π8 ,kπ +58π ???,k∈Z,排除 D.
类型三 正弦函数的值域或最值 例 4 (1)求使函数 y=-2sin x+1 取得最大值和最小值的自变量 x 的集合,并写出其值域; (2)求使函数 y=-sin2x+ 3sin x+54取得最大值和最小值的自变量 x 的集合,并求出函数的最 值. 考点 正弦函数的值域或最值 题点 正弦函数的值域或最值 解 (1)当 x=2kπ -π2 (k∈Z)时,ymax=-2×(-1)+1=3, 当 x=2kπ +π2 (k∈Z)时,ymin=-2×1+1=-1, ∴函数 y=-2sin x+1 的值域为[-1,3].
(2)令 t=sin x,则-1≤t≤1,y=-t2+ 3t+54=-???t- 23???2+2. ∴当 t= 23时,ymax=2. 此时 sin x= 23,即 x=2kπ +π3 或 x=2kπ +23π (k∈Z). ∴当 t=-1 时,ymin=14- 3. 此时 sin x=-1,即 x=2kπ +32π (k∈Z).
反思与感悟 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域,例如转化为 y=a(sin x+b)2+c 型的值域问题. (2)利用 sin x 的有界性求值域,如 y=asin x+b,-|a|+b≤y≤|a|+b.
跟踪训练 4 已知函数 f(x)=2asin x+b 的定义域为???-π3 ,23π ???,函数的最大值为 1,最小 值为-5,求 a 和 b 的值.
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵-π3 ≤x≤23π ,∴- 23≤sin x≤1.
推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

若 a>0,则???-2a+3ba=+1b,=-5,

?a=12-6 3, 解得?
?b=-23+12 3.

若 a<0,则??2a+b=-5, ?- 3a+b=1,

?a=-12+6 3, 解得?
?b=19-12 3.

当 a=0 时,不符合题意.

故 a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3,b=19-12 3.

1.函数 f(x)=sin???x+π6 ???的一个递减区间是(

)

A.???-π2 ,π2 ??? B.[-π ,0] C.???-23π ,23π ??? D.???π2 ,32π ???

考点 求正弦函数的单调区间

题点 求正弦函数的单调区间

答案 D

2.下列不等式中成立的是( )

A.sin???-π8 ???>sin???-π10???
B.sin 3>sin 2

C.sin

7 5π

>sin???-25π

???

D.sin 2>cos 1

考点 正弦函数单调性的应用

题点 利用正弦函数单调性比较大小

答案 D

解析 ∵sin 2=cos???π2 -2???=cos???2-π2 ???,且 0<2-π2 <1<π ,

∴cos???2-π2 ???>cos 1,即 sin 2>cos 1.故选 D.

3.函数 y=sin???x+π6 ???,x∈???0,π2 ???的值域是( )

A.???- 23,12??? B.???-12, 23??? C.??? 23,1??? D.???12,1???
考点 正弦函数的值域或最值

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

题点 正弦函数的值域或最值

答案 D

解析

∵0≤x≤π2 ,∴π6 ≤x+π6 ≤23π

,∴sin

π 6

≤sin???x+π6

???≤sin

π 2

,即12≤y≤1.故选

D.

4.求函数 y=3-2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量 x 的集合.

考点 正弦函数的值域或最值

题点 正弦函数的值域或最值

解 ∵-1≤sin 12x≤1,

∴当 sin 12x=-1,12x=2kπ -π2 ,k∈Z,

即 x=4kπ -π ,k∈Z 时,ymax=5, 此时自变量 x 的集合为{x|x=4kπ -π ,k∈Z}; 当 sin 12x=1,12x=2kπ +π2 ,k∈Z,

即 x=4kπ +π ,k∈Z 时,ymin=1, 此时自变量 x 的集合为{x|x=4kπ +π ,k∈Z}.

5.求函数 y=2sin???π6 -2x???,x∈(0,π )的递增区间.
考点 求正弦函数的单调区间

题点 求正弦函数的单调区间

解 ∵函数 y=2sin???π6 -2x???=-2sin???2x-π6 ???,

∴函数 y=2sin???π6 -2x???的递增区间为 y=2sin???2x-π6 ???的递减区间. 由π2 +2kπ ≤2x-π6 ≤32π +2kπ ,k∈Z,

得 kπ +π3 ≤x≤kπ +56π ,k∈Z.

∵x∈(0,π ), ∴由 k=0,得π3 ≤x≤56π .

∴函数 y=2sin???π6 -2x???,x∈(0,π )的递增区间为???π3 ,56π ???.

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料
1.求函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的单调区间的方法 把 ω x+φ 看成一个整体,由 2kπ -π2 ≤ω x+φ ≤2kπ +π2 (k∈Z)解出 x 的范围,所得区 间即为递增区间,由 2kπ +π2 ≤ω x+φ ≤2kπ +32π (k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即为递 减区间.若 ω <0,先利用诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调 区间. 2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值 的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数,再利用换元或配方或利用函数 的单调性等来确定 y 的范围.

一、选择题

1.y=s2isninx+x2的最小值是(

)

A.2 B.-2 C.1 D.-1

考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值

题点 正弦函数的最大值与最小值

答案 B

解析 由 y=s2isninx+x2=2-sin 4x+2,

当 sin x=-1 时,y=s2isninx+x2取得最小值-2.

2.函数

f(x)=sin

x-x3 x 是(

)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

考点 正弦函数的奇偶性

题点 正弦函数的奇偶性

答案 B

解析 函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且 f(-x)=f(x),故

f(x)为偶函数.

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料
3.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 考点 正弦函数单调性的应用 题点 利用正弦函数单调性比较大小 答案 C 解析 ∵sin 168°=sin(180°-168°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°, 又∵y=sin x 在(0°,90°)上是增加的, ∴sin 11°<sin 12°<sin 80°. 即 sin 11°<sin 168°<cos 10°. 4.函数 y=|sin x|的一个递增区间是( )
A.???π2 ,π ??? B.(π ,2π ) C.???π ,3π2 ??? D.(0,π )
考点 求正弦函数的单调区间 题点 求正弦函数的单调区间 答案 C 解析 作出函数 y=|sin x|的图像,如图,观察图像知 C 正确,故选 C.

5.若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间???0,π3 ???上是增加的,在区间???π3 ,π2 ???上是减少的,

则 ω 的值可为( )

A.32 B.23 C.2 D.3

考点 正弦函数单调性的应用

题点 已知三角函数的单调性求参数值

答案 A

解析

由题意知,T4=π3

,即

T=43π

,4π3

=2π ω

,∴ω

=32.

6.设函数 f(x)=sin|x|,则 f(x)( )

A.在区间???23π ,7π6 ???上是减少的

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料
B.是周期为 2π 的周期函数
C.在区间???-π2 ,0???上是增加的 D.对称中心为(kπ ,0),k∈Z
考点 正弦函数的性质综合 题点 正弦函数的性质综合 答案 A
解析 由图可知,f(x)在???2π3 ,7π6 ???上是减少的.

二、填空题

7.sin 1,sin 2,sin 3 按从小到大的顺序排列为

.

考点 正弦函数单调性的应用

题点 利用正弦函数单调性比较大小 答案 sin 3<sin 1<sin 2

解析 ∵1<π2 <2<3<π ,

sin(π -2)=sin 2,sin(π -3)=sin 3.

y=sin x 在???0,π2 ???上是增加的,

且 0<π -3<1<π -2<π2 ,

∴sin(π -3)<sin 1<sin(π -2), 即 sin 3<sin 1<sin 2.

8.函数 y=2sin???2x+π3 ??????-π6 ≤x≤π6 ???的值域是

.

考点 正弦函数的值域或最值

题点 正弦函数的值域或最值 答案 [0,2]

解析 ∵-π6 ≤x≤π6 ,∴0≤2x+π3 ≤2π3 ,

∴0≤sin???2x+π3 ???≤1,∴y∈[0,2].

9.函数 y=13sin???π6 -x???(x∈[0,π ])的递增区间为

.

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

考点 求正弦函数的单调区间

题点 求正弦函数的单调区间

答案 ???2π3 ,π ???

解析 y=-13sin???x-π6 ???,

∵x∈[0,π ],

∴-π6 ≤x-π6 ≤56π .

要求函数的递增区间,则π2 ≤x-π6 ≤56π ,即23π ≤x≤π .

∴y=13sin???π6 -x???(x∈[0,π ])的递增区间为???23π ,π ???.

10.若 f(x)=2sin ω x(0<ω <1)在区间???0,π3 ???上的最大值是 2,则 ω =

.

考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值

题点 正弦函数的最大值与最小值

3 答案 4

解析 ∵x∈???0,π3 ???,即 0≤x≤π3 ,且 0<ω <1, ∴0≤ω x≤ω3π <π3 ,

∵f(x)max=2sin

ωπ 3



2,

∴sin

ωπ 3



22,ω3π

=π4

,即

ω

3 =4.

三、解答题

11.求下列函数的递增区间.

(1)y=1-sin

x2;(2)y=

log

1 2

sin

? ??

x 2

?

π 3

? ??

.

考点 求正弦函数的单调区间

题点 求正弦函数的单调区间

解 (1)由 2kπ +π2 ≤x2≤2kπ +32π ,k∈Z,

得 4kπ +π ≤x≤4kπ +3π ,k∈Z. ∴y=1-sin x2的递增区间为[4kπ +π ,4kπ +3π ],k∈Z.

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

(2)要求函数

y=

log 1 sin
2

? ??

x 2

?

π 3

? ??

的递增区间,

即求使 y=sin???x2-π3 ???>0 且递减的区间.

∴2kπ +π2 ≤x2-π3 <2kπ +π ,k∈Z,

整理得 4kπ +53π ≤x<4kπ +8π3 ,k∈Z.

∴函数

y=

log 1 sin
2

? ??

x 2

?

π 3

? ??

的递增区间为???4kπ

+5π3

,4kπ

+8π3

???,k∈Z.

12.求下列函数的最大值和最小值.

(1)f(x)=sin???2x-π6 ???,x∈???0,π2 ???; (2)f(x)=-2sin2x+2sin x+3,x∈???π6 ,56π ???.
考点 正、余弦函数的值域或最值

题点 正、余弦函数的值域或最值

解 (1)当 x∈???0,π2 ???时,2x-π6 ∈???-π6 ,56π ???,

由函数图像知,f(x)=sin???2x-π6 ???∈???sin???-π6 ???,sin

π 2

???=???-12,1???.

所以 f(x)在???0,π2 ???上的最大值和最小值分别为 1,-12.

(2)f(x)=-2sin2x+2sin x+3=-2(sin2x-sin x)+3=-2???sin x-12???2+72.

因为 x∈???π6 ,56π ???,所以12≤sin x≤1.

当 sin x=12时,ymax=72,

当 sin x=1 时,ymin=3.

13.已知函数 f(x)=asin???2x-π3 ???+b(a>0).当 x∈???0,π2 ???时,f(x)的最大值为 3,最小值 是-2,求 a 和 b 的值.

考点 正弦函数的值域或最值

题点 正弦函数的值域或最值

解 ∵0≤x≤π2 ,∴-π3 ≤2x-π3 ≤23π ,

推荐精选 K12 资料

推荐精选 K12 资料

∴- 23≤sin???2x-π3 ???≤1, ∴f(x)max=a+b= 3,f(x)min=- 23a+b=-2.

??a+b= 3,

由? ??-

23a+b=-2,

得???ba==-2,2+ 3.

四、探究与拓展

14.已知函数 f(x)=ax3+bsin x-2,若 f(-2 017)=8,则 f(2 017)=

.

答案 -12

解析 由 f(x)=ax3+bsin x-2,得 f(x)+2=ax3+bsin x 是一个奇函数,则 f(-x)+2+

f(x)+2=0,即 f(-x)+f(x)=-4,所以 f(-2 017)+f(2 017)=-4.又 f(-2 017)=8,

所以 f(2 017)=-12.

15.已知函数 f(x)=-sin2x+sin x+a,若 1≤f(x)≤147对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的

取值范围. 考点 正弦函数最值的应用 题点 正弦函数与一元二次函数综合 解 令 t=sin x,则 t∈[-1,1],
则函数可化为 g(t)=-t2+t+a=-???t-12???2+a+14. 当 t=12时,g(t)max=a+14,

即 f(x)max=a+14; 当 t=-1 时,g(t)min=a-2, 即 f(x)min=a-2. 故对于一切 x∈R,函数 f(x)的值域为???a-2,a+41???.

所以???a+14≤147, ??a-2≥1,

解得 3≤a≤4.

故实数 a 的取值范围为[3,4].

推荐精选 K12 资料


相关文档

  • [k12精品]2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • 精选推荐2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • 【推荐K12】2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • 2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 5.2 正弦函数的性质学案 北师大版必修4
  • 2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • [K12配套]2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • 【教育专用】2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • [最新学*]2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4
  • 【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 5.1 正弦函数的图像学案 北师大版必修4
  • 猜你喜欢

  • 关于弟子规的演讲稿集合10篇
  • 百合顺心钻石画——隐患整改催办通知
  • MIUI11系统怎么样启用root权限的教程
  • 专题13元素及其化合物知识的综合应用-2018年高考题和高考模拟题化学分项版汇编Word版含解析
  • 我的梦想演讲稿格式:my dream hello everyone
  • 大学生与父母沟通调查问卷
  • XX年培优补差个人工作总结
  • 维修部燃料机务专业检修滚动计划表
  • (新人教版)最新高考语文二轮复*专题七 精准训练十九《论语》文化经典专练【经典练*】
  • 关于感动的作文600字
  • 加强党的执政能力建设的四个方面党建党委
  • 珠海电力德勤物业管理有限公司(企业信用报告)- 天眼查
  • 溪河右线特大桥施工组织设计
  • 高中作文-冬日暖阳_550字
  • GSM数字移动通信系统介绍
  • 有关部队驾驶员的个人工作总结例文
  • 13章 非存款类金融机构
  • 商业保险管理制度守则
  • 2019年春八年级英语下册 Module 2 Experiences模块基础知识过关二课件 (新版)外研版
  • 判断企业所处生命周期阶段的指标有( )。 A.市场份额B.需求增长率C
  • 【教育专用】2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角学案新人教A版必修4
  • 国电电力大同发电公司网络信息资料管理办法
  • 年有关以金钱为话题的初中作文800字-金钱与人性
  • 壮族文化 壮族“壮锦”民族特点简介
  • 【最新】三年级上册《生命、生态与安全》教案
  • 2019年最新月入党积极分子思想汇报范文:学*十八大的心得思想汇报文档【五篇】 (2)
  • 单位车辆管理制度
  • 教科版六年级科学下册表格式教案(1.1)
  • 章生产要素的国际流动-资料
  • 被生活压扁了的小人物——《变形记》中格里高尔形象浅析
  • 人教版生物八年级下7.2第三节《基因的显性和隐性》【课件】(共20张PPT)
  • 关于学校教师节活动总结集合5篇
  • 九年级数学上册263解直角三角形专题讲座素材冀教版.
  • 【最新2018】有关于理想的名言-优秀word范文 (2页)
  • 学校管理的基本方法ppt课件
  • 员工培训演示文稿公司培训主题ppt课件
  • -ST建峰:内部控制管理制度(2017年9月)
  • 基层反映:烟草广告亟待加强监管
  • 福建省监理工程师执业资格:工程师的口头指示考试试题
  • 一起保育猪副猪嗜血杆菌病继发感染破伤风的诊治体会
  • WordPress 优化方法大全
  • 2017审计师《企业财务管理》例题:财务趋势分析
  • 电脑版