2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性

发布时间:2021-09-20 15:19:54

第一章 §5 正弦函数的图像与性质 5.2 正弦函数的性质 学*目标 1.理解、掌握正弦函数的性质. 2.会求简单函数的定义域、值域. 3.能利用单调性比较三角函数值的大小. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点 正弦函数的性质 思考1 对于x∈R,sin(-x)=-sin x,这说明正弦函数具有怎样的性质? 答案 奇偶性. 思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么? 答案 对于正弦函数y=sin x,x∈R有: 当且仅当 x=π2+2kπ,k∈Z 时,取得最大值 1; 当且仅当 x=-π2+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. 思考3 正弦函数的单调区间是什么? 答案 y=sin x 的递增区间为????-π2+2kπ,2π+2kπ????,k∈Z, 递减区间为????π2+2kπ,32π+2kπ????,k∈Z. 梳理 函数 图像 定义域 值域 正弦函数y=sin x,x∈R _R__ [-1,1] 最值 周期性 当 x=π2+2kπ(k∈Z) 时,ymax=1; 当 x=-π2+2kπ(k∈Z) 时,ymin=-1 是周期函数,周期为 2kπ(k∈Z,k≠0) ,2π是它的最小正周期 奇偶性 奇函数,图像关于 原点 对称 单调性 在区间 ????-π2+2kπ,2π+2kπ???? (k∈Z)上是增加的; 在区间 ????π2+2kπ,32π+2kπ???? (k∈Z)上是减少的 对称轴 _x_=__π2_+__k_π_,__k_∈__Z_ 对称中心 _(_k_π_,__0_),__k_∈__Z__ [思考辨析 判断正误] 1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × ) 3.y=sin |x|是偶函数.( √ ) 提示 答案 题型探究 类型一 求正弦函数的单调区间 例 1 求函数 y=2sin????π4-x????的递增区间. 解答 反思与感悟 用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,如果 式子中x的系数为负数,先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调 区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式. 跟踪训练 1 函数 y=sin????3x+π6????,x∈????-π3,π3????的递减区间为 ????-π3,-29π????,????π9,π3???? . 解析 由π2+2kπ≤3x+π6≤32π+2kπ(k∈Z), 得π9+23kπ≤x≤49π+23kπ(k∈Z). 又 x∈????-π3,π3????, 所以函数 y=sin????3x+π6????,x∈????-π3,π3????的递减区间为????-π3,-29π????,????π9,π3????. 解析 答案 类型二 正弦函数单调性的应用 命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小 例2 比较下列三角函数值的大小. (1)sin????-35π????与 sin????-134π????; 解 ∵sin????-35π????=-sin 35π,sin????-134π????=-sin????2π+54π????=-sin 54π, 由于π2<35π<54π<32π,且 y=sin x 在????π2,32π????上是减少的, ∴sin 3π 5 >sin 54π,∴-sin 35π<-sin 54π,即 sin????-35π????<sin????-134π????. 解答 (2)sin 196°与cos 156°; 解 sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在[0°,90°]上是增加的, ∴sin 16°<sin 66°, 从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. 解答 反思与感悟 (1)比较sin α与sin β的大小时,可利用诱导公式把sin α与sin β 转化为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较. (2)比较 sin α 与 cos β 的大小,常把 cos β 转化为 sin????π2±β????后,再依据单调 性来进行比较. (3)当不能将两角转到同一单调区间上时,还可以借助于图像或值的符号 比较. 跟踪训练2 比较sin 194°与cos 110°的大小. 解 ∵sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 110°=cos(180°-70°)=-cos 70°=-sin(90°-70°)=-sin 20°, 由于0°<14°<20°<90°, 而y=sin x在[0°,90°]上是增加的, ∴sin 14°<sin 20°, ∴-sin 14°>-sin 20°, 即sin 194°>cos 110°. 解答 命题角度2 已知三角函数单调性求参数范围 例 3 已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sin ωx 在区间????-π3,π4????上是增加的,求 ω 的取值范围. 解答 反思与感悟 已知三角函数单调性求参数范围问题可先解出f(x)的单调区 间,将问题转化为集合间的包含关系,然后列不等式组求出参数范围. 跟踪训练 3 已知 ω>0,函数 f(x)=sin????ωx+π4????在????π2,π????上是减少的,则 ω 的取值范围是 √A.????12,45???? C.????0,12 ???? B.????12,43???? D.(0,2] 解析 答案 类型三 正弦函数的值域或最值 例4 (1)求使函数y=-2sin x+1取得最大值和最小值的自变量x的集合, 并写

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