[K12配套]2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4

发布时间:2021-12-04 08:26:47

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5.2
点).

正弦函数的性质

内容要求 1.理解正弦函数 y=sin x,x∈R 的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难

知识点 1 正弦函数的性质 函数 正弦函数 y=sin x,x∈R

图像

定义域 值域 最值

R [-1,1] π 当 x= +2kπ (k∈Z)时,ymax=1; 2 π 当 x=- +2kπ (k∈Z)时,ymin=-1 2 是周期函数, 周期为 2kπ (k∈Z, k≠0),2π 是 它的最小正周期 奇函数,图像关于原点对称 π π 在[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上是增函 2 2 数; π 3π 在[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上是减函数 2 2 π x= +kπ ,k∈Z 2 (kπ ,0),k∈Z

周期性 奇偶性

单调性

对称轴 对称中心 【预*评价】

(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=sin(-x)为奇函数(√). (2)函数 y=sin x,x∈[- π 5π 1 1 , ]的值域是[- , ](×). 6 6 2 2 π ,2kπ ](k∈Z)上是单调递增的(√). 2

(3)函数 y=sin x 在[2kπ -

(4)函数 y=sin x 在第一象限内是递增的(×).

题型一 与正弦函数有关的值域问题 【例 1】 求下列函数的值域: π π (1)y=sin(2x- ),x∈[0, ]; 3 2 (2)y=-2sin x+5sin x-2. 配套学*资料 K12 页脚内容
2

KK12 配套学*资料 π π π 2π π 解 (1)∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤π ,- ≤2x- ≤ ,令 2x- =t,则原式转化为 y 2 3 3 3 3 π 2π =sin t,t∈[- , ]. 3 3 由 y=sin t 的图像知- ∴原函数的值域为[- 3 ≤y≤1, 2

3 ,1]. 2

5 2 9 2 (2)y=-2sin x+5sin x-2=-2(sin x- ) + . 4 8 ∵-1≤sin x≤1, ∴ymin=-2×(-1) +5×(-1)-2=-9,
2

ymax=-2×12+5×1-2=1.
故函数 y=-2sin x+5sin x-2 的值域是[-9,1]. 规律方法 1.求定义域时, 常利用数形结合, 根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集. 注 意灵活选择一个周期的图像. 2.求值域时,注意:(1)利用 sin x 的有界性;(2)利用 y=sin x 的单调性. 3π ? ?π 【训练 1】 (1)函数 y=2sin x+1? ≤x≤ ?的值域是( 4 ? ?4 A.[1+ 3,3] C.[1- 2,1+ 2] B.[1+ 2,3] D.[-1,3] )
2

1? ? (2)设函数 y=sin x 的定义域为[a, b], 值域为?-1, ?, 则以下四个结论正确的是________ 2 ? ? (填序号) . 2π ①b-a 的最小值为 ; 3 4π ②b-a 的最大值为 ; 3 π ③a 不可能等于 2kπ - (k∈Z); 6 π ④b 不可能等于 2kπ - (k∈Z). 6 π 3π π 3π 解析 (1)画出函数 y=2sin x+1( ≤x≤ )的图像如图所示,当 x= 或 x= 时,最 4 4 4 4 π 小值为 1+ 2;当 x= ,最大值为 3. 2

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4π 7π π (2)由图像知,b-a 的最大值为 (如 a=- ,b= );在 b-a 取最大值的情况下,固 3 6 6 定左(或右)端点,移动右(或左)端点,必须保证取-1 的最小值点在[a,b]内,所以 b-a 2π π π 的最小值为 ,b 可能等于 2kπ - (k∈Z).若 a=2kπ - (k∈Z),则由图像可知函数 3 6 6 1 π 的最大值为 的情况下,最小值不可能为-1.所以 a 不可能等于 2kπ - (k∈Z). 2 6

答案 (1)B (2)①②③ 题型二 正弦函数的周期性与奇偶性 【例 2】 求下列函数的周期: 1 (1)y=sin x; 2 (2)y=|sin x|. 解 (1)∵sin?

?1 x+4π ?2

?=sin?1x+2π ?=sin1x,∴sin1x 的周期是 4π . ? ?2 ? 2 2 ? ? ?

(2)作出 y=|sin x|的图像,如图.

故周期为 π . 规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断,不要盲目套用结论. 2. 函数 y=sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称, 否则不具有奇偶性. 如 y=sin x,

x∈[0,2π ]是非奇非偶函数.
【训练 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin x; (2)f(x)=|sin x|+1. 解 (1)∵x∈R,且关于原点对称, 又 f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x), 配套学*资料 K12 页脚内容

KK12 配套学*资料 ∴f(x)为偶函数. (2)∵x∈R,且关于原点对称,又 f(-x)=|sin(-x)|+1=f(x), ∴f(x)为偶函数.

方向 1 利用正弦函数的单调性比较大小 【例 3-1】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与 cos 156°; (2)sin 1,sin 2,sin 3. 解 (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,∴sin 16°<sin 66°. 从而-sin 16°>-sin 66°,即 sin 196°>cos 156°. π (2)∵1< <2<3<π ,sin(π -2)=sin 2,sin(π -3)=sin 3. 2 π ? π? 0<π -3<1<π -2< 且 y=sin x 在?0, ?上递增, 2? 2 ? ∴sin(π -3)<sin 1<sin(π -2),即 sin 3<sin 1<sin 2. 方向 2 求函数的单调区间 【例 3-2】 求函数 y=-sin x+3 的单调区间. 解 ∵y=-sin x+3 与 y=sin x 的增减性相反. π π? π 3π ? ? ? 而 y=sin x 的增区间是?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z),减区间是?2kπ + ,2kπ + ?(k 2 2? 2 2 ? ? ? ∈Z). π 3π ? ? ∴函数 y =- sin x + 3 的单调增区间是 ?2kπ + ,2kπ + ? (k ∈ Z) ,单调减区间为 2 2 ? ?

?2kπ -π ,2kπ +π ?(k∈Z). ? 2 2? ? ?
方向 3 求复合函数的单调区间 【例 3-3】 求函数 y=log1sin x 的单调递增区间.
2

解 由 sin x>0 得 2kπ <x<2kπ +π ,k∈Z, 1 ∵0< <1, 2 ∴函数 y=log1sin x 的递增区间即为 u=sin x>0 的递减区间.
2

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KK12 配套学*资料 π ∴2kπ + ≤x<2kπ +π ,k∈Z. 2 故函数 y=log1sin x 的递增区间即为
2

?2kπ +π ,2kπ +π ?(k∈Z). ? ? 2 ? ?
规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时, 应先将异名化同名, 再将不是同一单调区 间的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小. 2.求正弦函数的单调区间有二种方法:一是利用 y=sin x 的单调区间,进行代换,解不等 式;二是画图像,从图像上观察,注意定义域,单调区间不能随便并起来.

课堂达标

? π? 1.函数 f(x)=sin?x+ ?的一个递减区间是( 6? ? ? π π? A.?- , ? ? 2 2?
2 ? ? 2 C.?- π , π ? 3 ? ? 3 π π 3 解析 由 ≤x+ ≤ π , 2 6 2 π 4 解得 ≤x≤ π .故选 D. 3 3 答案 D 2.下列函数中是奇函数的是( A.y=-|sin x| C.y=sin |x| )

)

B.[-π ,0] D.?

? π , 2π ? ? ?2 3 ?

B.y=sin(-|x|) D.y=xsin |x|

解析 利用定义,显然 y=xsin |x|是奇函数. 答案 D 3.若函数 f(x)=sin 2x+a-1 是奇函数,则 a=________. 解析 由奇函数的定义 f(-x)=-f(x)得 a=1. 答案 1 4.函数 y=|sin x|的值域是________. 解析 作出函数 y=|sin x|的图像(图像略)可知. 答案 [0,1] 1 5.求函数 y=3-2sin x 的最值及取到最值时的自变量 x 的集合. 2

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KK12 配套学*资料 解 ∵-1≤sin 1 x≤1, 2

1 1 π ∴当 sin x=-1, x=2kπ - ,k∈Z, 2 2 2 即 x=4kπ -π ,k∈Z,ymax=5, 此时自变量 x 的集合为{x|x=4kπ -π ,k∈Z}; 1 1 π 当 sin x=1, x=2kπ + ,k∈Z, 2 2 2 即 x=4kπ +π ,k∈Z 时,ymin=1, 此时自变量 x 的集合为{x|x=4kπ +π ,k∈Z}. 课堂小结 1.求正弦函数在给定区间[a,b]上的值域时,要注意结合图像判断在[a,b]上的单调性及 有界性. 2.利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时,需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同 一个单调区间内. 3.观察正弦曲线不难发现: (1)正弦曲线是中心对称图形,对称中心的坐标为(kπ ,0)(k∈Z),即正弦曲线和 x 轴的交 点,原点是其中的一个. π (2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴方程是 x=kπ + (k∈Z);正弦曲线的对称轴一定过正 2 弦曲线的最高点或最低点.

基础过关

? π? 1.函数 y=cos?x+ ?(x∈R)是( 2? ?
A.奇函数 C.非奇非偶函数

) B.偶函数 D.无法确定

? π? 解析 y=cos?x+ ?=-sin x. 2? ?
答案 A 2.函数 f(x)=|sin x|的一个递增区间是( ) B.? D.?

? π π? A.?- , ? ? 4 4?
3π ? ? C.?π , ? 2 ? ?

? π , 3π ? 4 ? ?4 ? ?3π ,2π ? ? ? 2 ?

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KK12 配套学*资料 3π ? ? 解析 画出函数 f(x)=|sin x|的图像如图所示,由图像可知?π , ?是函数 f(x)= 2 ? ? |sin x|的一个递增区间.

答案 C 1 3.设 M 和 m 分别是函数 y= sin x-1 的最大值和最小值,则 M+m=( 3 2 A. 3 4 C.- 3 1 1 解析 ∵M= -1,m=- -1, 3 3 ∴M+m=-2. 答案 D 4.函数 y= -2sin x的定义域是________,单调递减区间是________. 解析 ∵-2sin x≥0,sin x≤0, ∴2kπ -π ≤x≤2kπ ,k∈Z, 即函数的定义域是[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z). ∵y= -2sin x与 y=sin x 的单调性相反, π ? ? ∴函数的单调递减区间为?2kπ - ,2kπ ?(k∈Z). 2 ? ? π ? ? 答案 [2kπ -π ,2kπ ](k∈Z) ?2kπ - ,2kπ ?(k∈Z) 2 ? ? 5.设 a=cos 29°,b=sin 144°,c=sin 50°,则 a,b,c 的大小关系为________. 解析 a=cos 29°=sin 61°,b=sin 144°=sin 36°,c=sin 50°,由正弦函数的单 调性可知 sin 36°<sin 50°<sin 61°,即 b<c<a. 答案 b<c<a 6.不求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: 25π 13π (1)sin 与 sin ; 18 9 2 B.- 3 D.-2 )

? 54 ? ? 63 ? (2)sin?- π ?与 sin?- π ?. ? 7 ? ? 8 ?

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KK12 配套学*资料 3π ? 25π 13π 3π ? 解 (1)因为 π < < < ,且 y=sin x 在?π , ?上是减少的, 2 ? 18 9 2 ? 25π 13π 所以 sin >sin . 18 9 2 ? ? 54 ? ? 56 (2)sin?- π ?=sin?- π + π ? 7 ? ? 7 ? ? 7 2 ? 2 ? =sin?-8π + π ?=sin π , 7 ? 7 ? π? π ? 63 ? ? sin?- π ?=sin?-8π + ?=sin , 8? 8 ? 8 ? ? π 2 π 2 π ? π? 因为 > π > >0,且 y=sin x 在?0, ?上是增加的,所以 sin π >sin , 2? 2 7 8 7 8 ?

? 54 ? ? 63 ? 即 sin?- π ?>sin?- π ?. ? 7 ? ? 8 ?
π 2 7.设|x|≤ ,求函数 f(x)=1-sin x+sin x 的最小值. 4 解 f(x)=1-sin x+sin x 1?2 5 ? =-?sin x- ? + . 2? 4 ? π 2 2 ∵|x|≤ ,∴- ≤sin x≤ . 4 2 2 ∴当 sin x=- 2 1- 2 时,f(x)min= . 2 2 能力提升 8.下列不等式中成立的是( )
2

? π? ? π? A.sin?- ?<sin?- ? ? 8? ? 10? ? 21 ? ? 17 ? B.sin?- π ?<sin?- π ? ? 5 ? ? 4 ?
C.sin 3>sin 2 7 ? 2 ? D.sin π >sin?- π ? 5 ? 5 ? π π ? π π? ? π? ? π? 解析 y=sin x 在?- , ?上为增函数,而- <- ,故 sin?- ?<sin?- ?,故 2 2 8 8 10 ? ? ? ? ? 10? 选 A. 答案 A 9.设函数 f(x)=sin |x|,则 f(x)( )

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KK12 配套学*资料 7 ? ?2 A.在区间? π , π ?上是减函数 6 ? ?3 B.是周期为 2π 的周期函数

? π ? C.在区间?- ,0?上为增函数 ? 2 ?
D.对称中心为(kπ ,0),k∈Z 7 ? ?2 解析 由图易知,f(x)在? π , π ?上是减函数. 3 6 ? ?

答案 A 1-a ?π ? 10.若方程 sin x= 在 x∈? ,π ?上有两个不同的实根,则 a 的取值范围是________. 2 ?3 ? 解析 在同一坐标系中作出函数 y=sin x,x∈? <1,即-1<a≤1- 3时, 1-a ?π ? 两图像有两个不同的交点,即方程 sin x= 在 x∈? ,π ?上有两个不同的实根. 2 ?3 ? 答案 (-1,1- 3] 1 π 5 2 11.函数 f(x)=2sin x+2sin x- ,x∈[ , π ]的值域是________. 2 6 6 解析 令 t=sin x,y=f(t), π 5π ∵x∈[ , ], 6 6 1 1 ∴ ≤sin x≤1,即 ≤t≤1. 2 2 1 1 2 2 ∴y=2t +2t- =2(t+ ) -1, 2 2 7 ∴1≤y≤ , 2 7 ∴函数 f(x)的值域为[1, ]. 2 7 答案 [1, ] 2 π? ? ? π? 12.已知函数 f(x)=2asin?2x- ?+b 的定义域为?0, ?,最大值为 1,最小值为-5,求 3? 2? ? ?

?π ,π ?的图像(图略),易知,当 3≤1-a ? 2 2 ?3 ?

a 和 b 的值.
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KK12 配套学*资料 π π π 2 解 ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ π , 2 3 3 3 ∴- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1,易知 a≠0. 3? 2 ?

当 a>0 时,f(x)max=2a+b=1,

f(x)min=- 3a+b=-5.

?2a+b=1, 由? ?- 3a+b=-5,

解得?

?a=12-6 3, ?b=-23+12 3.

当 a<0 时,f(x)max=- 3a+b=1,

f(x)min=2a+b=-5.

?- 3a+b=1, 由? ?2a+b=-5,

解得?

?a=-12+6 3, ?b=19-12 3.

13.(选做题)已知函数 f(x)=|sin x-a|,a∈R. (1)试讨论函数 f(x)的奇偶性. (2)求当 f(x)取得最大值时,自变量 x 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数. (2)当 a>0 且 sin x=-1 时,f(x)取得最大值,这时 x 的取值范围为
? ? ? π ?x?x=2kπ - ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?; ? ?

? ? π 当 a<0 且 sin x=1 时,f(x)取得最大值,这时 x 的取值范围为?x|x=2kπ + ,k∈Z?; 2 ? ? ? ? π 当 a=0 且 sin x=±1 时,f(x)取得最大值,这时 x 的取值范围为?x|x=kπ + ,k∈Z?. 2 ? ?

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