2018_2019学年高中数学第一章三角函数8函数y=Asinωx+

发布时间:2021-09-20 14:29:58

§ 8 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二) 内容要求 1.掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的周期. 单调性及最值的求 法(重、难点).2.理解函数 y=Asin(ωx+φ)的对称性(难点). 知识点 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 定义域 值域 周期 R [-A,A] _________ 2π T= ω ________ φ=kπ ,k∈Z 时,y=Asin(ωx+φ)是奇 π kπ+2 函数; φ= , k∈Z 时, y=Asin(ωx +φ)是偶函数 奇偶性 续表 π 对称轴方程 由 ωx+φ=kπ+2 对称中心 (k∈Z)求得 单调性 由 ωx+φ=kπ (k∈Z)求得 π π 递增区间由 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2(k∈Z) 求得; π 3 递减区间由 2kπ+2≤ωx+φ≤2kπ+2π(k∈Z) 求得 【预*评价】 π (1)函数 y=2sin(2x+6)+1 的最大值是( A.1 C.3 B.2 D.4 ) π π π 解析 当 2x+6=2kπ+2时,即 x=kπ+6(k∈Z)时最大值为 3. 答案 C (2)函数 A.4π ? π? f(x)=sin?2x+3?的最小正周期为( ? ? ) π D. 2 B.2π 2π 由题意 T= =π,故选 C. 2 C.π 解析 答案 C 题型一 函数 y=Asin(ωx+φ)的最值问题 ? ? π? π? 2sin?2x+4?,x∈?0,2?的值域. ? ? ? ? 【例 1】 求函数 y= 解 π ∵0≤x≤2,∴0≤2x≤π. π π 5π ∴4≤2x+4≤ 4 . ? π? 2 ∴- 2 ≤sin?2x+4?≤1. ? ? ∴-1≤ ? π? 2sin?2x+4?≤ ? ? 2,即-1≤y≤ 2. 2]. ∴函数 y= ? ? π? π? 2sin?2x+4?,x∈?0,2?的值域为[-1, ? ? ? ? 规律方法 求函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[m,n]的值域的步骤: (1)换元,u=ωx+φ,并求 u 的取值范围; (2)作出 y=sin u(注意 u 的取值范围)的图像; (3)结合图像求出值域. 【训练 1】 求函数 解 ? π?? π π? y=2sin?2x+3??-6≤x≤6?的最大值和最小值. ? ?? ? π π ∵-6≤x≤6, ? π? π 2π ∴0≤2x+3≤ 3 ,∴0≤sin?2x+3?≤1. ? ? ∴当 当 ? π? sin?2x+3?=1 ? ? 时,ymax=2; ? π? sin?2x+3?=0 ? ? 时,ymin=0. 方向 1 求函数 y=Asin(ωx+φ)的周期 【例 2-1】 求下列函数的周期: ? π? (1)y=sin?2x+3?(x∈R); ? ? ?π π? (2)y=sin?2x+6?(x∈R). ? ? 解 2π (1)T= 2 =π. 2π (2)T= π =4. 2 方向 2 函数 y=Asin(ωx+φ)的奇偶性与对称性 【例 2-2】 (1) 函 数 ? π? y = sin ?2x+3? 的 图 像 的 对 称 轴 方 程 为 ? ? ________,对称中心为________. ? ? π (2)若函数 f(x)=2sin?2x-3+φ?是偶函数, 则 φ 的值可以是( ? ? ) 5π A. 6 π C.3 π B.2 π D.-2 解析 (1)令 y=± 1,即 ? π? sin?2x+3?=± 1,则 ? ? π π 2x+3=kπ+2(k∈Z), kπ π kπ π ∴x= 2 +12(k∈Z),即对称轴方程为 x= 2 +12(k∈Z).令 y=0, 即 数 ? π? sin?2x+3?=0,则 ? ? π kπ π 2x+3=kπ(k∈Z),∴x= 2 -6(k∈Z),∴函 ? ?kπ π ? π? y=sin?2x+3?的图像的对称中心为? 2 -6,0?(k∈Z). ? ? ? ? (2)由 ? ? π f(x)=2sin?2x-3+φ?为偶函数得 ? ? π π φ-3=kπ+2(k∈Z),即 φ= 5π kπ+ 6 . 5π ∴当 k=0 时 φ= 6 .故选 A. kπ π 答案 (1)x= 2 +12(k∈Z) (2)A ?kπ π ? ? - ,0?(k∈Z) 6 ?2 ? 方向 3 函数 y=Asin(ωx+φ) 单调性 ?π ? y=2sin?4-x?的递增区间. ? ? 【例 2-3】 求函数 解 ?π ? ? π? ∵y=2sin?4-x?=-2sin?x-4?, ? ? ? ? ?π ? y=2sin?4-x?的递增区间就是函数 ? ? ∴函数 ? π? u=2sin?x-4?的递减区间. ? ? π π 3π ∴2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z), 3π 7π 得 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), ∴函数 ?π ? y=2sin?4-x?的递增区间为: ? ? ? 3π 7π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ? 规律方法 1.关于函数 y=Asin(ωx+φ)的对称性与奇偶性 (1)将 ωx+φ 看作整体,代入到 y=sin x 的对称中心、对称轴的表 达式可以求出函数 y=Asin(ωx+φ)的对称中心、对称轴或求 φ 值. (2)若函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则 φ=π+kπ,k∈Z,若函数 π y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2+kπ,k∈Z,函数 y=Asin(ωx +φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况. 2.求解函数 y=Asin(ωx+φ)单调区间的四个步骤 (1)将 ω 化为正值. (2)根据

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